Logaritma Lewat Ajaaaa~~~~ ~ Punya Radit

Fungsi Eksponen dan Logaritma

A. Fungsi Eksponen
Fungsi adalah relasi yang bersifat khusus.
Ada dua bentuk umum fungsi eksponen, yaitu
a. Fungsi eksponen dengan bilangan basis $a>1$
Perhatikan ilustrasi berikut

[Sumber]

Perhatikan juga tabel berikut

$\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\ \hline f(x)&{1/4}&{1/2}&1&2&4\\ \hline (x,f(x))&(-2,1/4)&(-1,1/2)&(0,1)&(1,2)&(1,4)\\ \hline\end{tabular}$

b. Fungsi eksponen dengan bilangan basis $0<a<1$
Perhatikan pula ilustrasi berikut ini

[Sumber]

Perhatikan pula tabel berikut

$\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\ \hline f(x)&{4}&{2}&1&1/2&1/4\\ \hline (x,f(x))&(-2,4)&(-1,2)&(0,1)&(1,1/2)&(1,1/4)\\ \hline\end{tabular}$

Sifat-sifat pada bilangan bentuk eksponen

[Sumber]
Silahkan anda pelajari beberapa bentuk persamaan eksponen dan langkah penyelesaiannya.
Sebagai tambahan $a^{a^{a+m}}=a^{a^{a+n}}\: \Rightarrow \: \: m=n$ .
$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$ 1. Tentukan penyelesaian dari $\sqrt{8^{x-1}}=2.\sqrt[3]{\left ( \frac{1}{4} \right )}$
Jawab:
$8^{\frac{x-1}{2}}=2.2^{-\frac{2}{3}}\: \Rightarrow\: 2^{\frac{3(x-1)}{2}}=2^{\frac{1}{3}}$ $\frac{3x-3}{2}=\frac{1}{3}\: \Rightarrow \: 3x-3=\frac{2}{3}\: \Rightarrow \: x=\frac{11}{9}$ Ingat: $a^{f(x)}=a^{p}\: \Rightarrow \: f(x)=p\: ,\: dengan\: syarat\: (a>0\: ,\: a\neq 1)$
2. Tentukanlah penyelesaian dari $5^{x^{2}+3x+5}=\left ( \frac{1}{5} \right )^{2x+1}$
Jawab:
$5^{x^{2}+3x+5}=5^{-2x-1}$ $x^{2}+3x+5=-2x-1\: \Rightarrow \: x^{2}+5x+6=0$ $\left ( x+3 \right )\left ( x+2 \right )=0\: \Rightarrow \: x_{1}=-3\: \: atau\: \: x_{2}=-2$ Ingat: $a^{f(x)}=a^{g(x)}\: \Rightarrow \: f(x)=g(x)\: ,\: dengan \: syarat\: (a>0\: dan\: a\neq 1)$
3. Tentukan penyelesaian dari $5^{x^{2}-3x+2}=3^{x^{2}-3x+2}$
Jawab:
Penyelesaiannya adalah $x^{2}-3x+2=0\: \Rightarrow \: \left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )=0\: \Rightarrow \: x_{1}=1\: \: atau\: \: x_{2}=2$
Ingat: $a^{f(x)}=b^{f(x)}\: \Rightarrow \: f(x)=0$
4. Tentukan penyelesaian dari $7^{3x-1}=5^{2x+1}$
Jawab:
$7^{3x-1}=5^{2x+1}$ , kemudian dilogkan keduanya, sehingga
$\log 7^{3x-1}=\log 5^{2x+1}$ $(3x-1)\log 7=(2x+1)\log 5$ ,
$3x\log 7-2x\log 5=\log 5+\log 7$ ,
$x\left ( \log 7^{3}-\log 5^{2} \right )=\log 35\: \Leftrightarrow \: x\log \left ( \frac{343}{25} \right )=\log 35$ ,
$x=\left ( \frac{\log 35}{\log \left ( \frac{343}{25} \right )} \right )$ ,
$Jadi,\: \: x=^{\frac{343}{25}}\log 35$
5. Tentukan semua solusi dari persamaan eksponen $(x-3)^{x^{2}+3x-2}=x^{2}-6x+9$
Jawab:
$(x-3)^{x^{2}+3x-2}=x^{2}-6x+9\: \Leftrightarrow \: (x-3)^{x^{2}+3x-2}=(x-3)^{2}$
Untuk bentuk $f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}$
ada 4 syarat yang perlu diperhatikan, antara lain:

Pertama: $eksponen \: sama \: \: atau\: \: g(x)=h(x)$
Kedua: Bilangan basis $f(x)=0$ , dengan ketentuan baik $g(x)\: dan\: h(x)$ keduanya positif, atau $g(a)\times h(a)=positif$
Ketiga: Bilangan basis $f(x)=1$
Keempat: Bilangan basis $f(x)=-1$ , dengan syarat $g(a)+h(a)=genap$

Sehingga
Pertama: $x^{2}+3x-2=2\: \Leftrightarrow \: (x^{2}+3x-4)=0$
$(x+4)(x-1)=0\: \Rightarrow \: x=-4\: atau\: x=1$ Kedua: $x-3=0\: \Rightarrow \: x=3\: :\left\{\begin{matrix} x=3 &, 3^{2}+3(3)-2=16 &positif \\ x=2& (konstan) & positif \end{matrix}\right.$
memnuhi
Ketiga: $x-3=1\: \Rightarrow \: x=4$
Keempat: $x-3=-1\: \Rightarrow \: x=2\left\{\begin{matrix} x=2 &,2^{2}+3(2)-2=8 &genap \\ x=2 & (konstan) &genap \end{matrix}\right.$
Ternyata juga memenuhi.
Jadi Solusi dari persamaan di atas adalah: $-4,\: 1,\:2,\: 3,\: 4$ .
6. Tentukan nilai $x$ bila $x^{x^{4}}=4$ .
Jawab :
Perhatikan bahwa $x^{x^{4}}=4$ . Pangkatkan 4 masing-masing ruas, sehingga
$\left ( x^{x^{4}} \right )^{4}=\left ( 4 \right )^{4}\\\\ maka\\\\ \left ( x^{4} \right )^{x^{4}}=\left ( 4 \right )^{4}\\\\ \Rightarrow \: \: x^{4}=4\\\\ diperoleh\: \: \sqrt[4]{x^{4}}=\sqrt[4]{4}\\\\ \left | x \right |=\sqrt[4]{2^{2}}\: \Leftrightarrow \: \left | x \right |=\sqrt{2}\\\\ jadi,\\\\ x=\sqrt{2}\: \: atau\: \: x=-\sqrt{2}$ .
7. Carilah nilai $x$ jika $x^{-x}=4$ .
Jawab :
$x^{-x}=2^{2}\: \Rightarrow \: x^{-x}=\left ( -2 \right )^{2}\\\\ sehingga\\\\ x^{-x}=\left ( -2 \right )^{-\left ( -2 \right )}\\\\ Jadi,\\\\ x=-2$ .
B. Fungsi Logaritma
1. Fungsi logaritma dengan $a>1$
Perhatikan ilustrasi berikut

[Sumber]

2. Fungsi logaritma dengan $0<a<1$
Perhatikan pula ilustrasi berikut

[Sumber]

Sifat-sifat operasi pada logaritma

[Sumber]

Silahkan anda pelajari beberapa bentuk persamaan logaritma dan langkah penyelesaiannya.

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan:

$^{2}\log (x^{2}-7x+12)=1$

Jawab:

ingat bahwa untuk $^{a}\log b=c\: \: \Leftrightarrow \: \: b=a^{c}$

Sehingga

$x^{2}-7x+12=2^{1}$

$x^{2}-7x+10=0$

$(x-2)(x-5)=0$

Jadi, $x=2\: \: atau\: \: x=5$

2. Tentukan penyelesaian dari $\log (x+3)=\log (x^{2}-9)$

Jawab:

$x+3=x^{2}-9\: \Rightarrow \: x^{2}-x-12=0$

$(x+3)(x-4)=0\: \Leftrightarrow \: x=-3\: \: atau\: \: x=4\: \left\{\begin{matrix} x=-3 &,tidak\: \: memenuhi \\ x=4&,memenuhi \end{matrix}\right.$

Catatan: lihat syarat numerus.

3. Carilah jumlah akar-akar dari persamaan

$^{2}\log ^{2}x+7^{2}\log x+12=0$

Jawab:

$misalkan \: \: p=^{2}\log x\: \: \: maka\: \: \: ^{2}\log ^{2}x=\left ( ^{2}\log x \right )^{2}=p^{2}$

Sehingga

$p^{2}+7p+12=0\: \: \Rightarrow \: \: (p+4)(p+3)=0$ .

Maka untuk

$p+4=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x+4=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x=-4$

didapatkan nilai $x=2^{-4}=\frac{1}{16}$

untuk

$p+3=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x+3=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x=-3$

didapatkan nilai $x=2^{-3}=\frac{1}{8}$

Jadi, jumlah akar-akar yang dimaksud adalah $\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$

4. Tentukan nilai x + y dari sistem persamaan

$\begin{matrix} ^{7}\log x &+ &^{7}\log y &=&5 \\ ^{7}\log x^{3}&- &^{7}\log y^{4} &=&1 \end{matrix}$

Jawab:

Misalkan

$^{7}\log x=a\: \: \: dan\: \: \: ^{7}\log y=b$

maka

$\begin{matrix} a &+ & b &= &5 \\ 3a& - & 4b & = &1 \end{matrix}$

dengan eliminasi ataupun substitusi diperoleh $\left\{\begin{matrix} a=3 \\ b=2 \end{matrix}\right.$

untuk $a=3\: \: \Rightarrow \: \: ^{7}\log x=3\: \: x=7^{3}=343$
untuk $b=2\: \: \Rightarrow \: \: ^{7}\log y=2\: \: y=7^{2}=49$

Jadi, nilai x + y = 343 + 49 = 392

$\LARGE\fbox{Latihan Soal}$

Carilah solusi dari persamaan eksponen $(7x-1)^{3x-2}=(x-5)^{3x-2}$
Carilah solusi untuk $9\times \sqrt{(\frac{1}{27})^{2x-1}}=\sqrt{243}$
Gambarlah grafik fungsi $f(x)=3^{x+1}$ , untuk $x\epsilon \left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3,4 \right \}$
Carilah solusi untuk $(x^{2}-9x+19)^{3x+4}=(x^{2}-9x+19)^{4x+2}$
Gambarlah grafik fungsi $f(x)=^{2}\log (x+1)$ , untuk $x\epsilon \left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3,4 \right \}$
Carilah nilai $x$ jika $2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=56$ .

C. Aplikasi Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

1. Fungsi Eksponensial

a. Pertumbuhan(growth)

Misalkan seseorang menabung di sebuah bank menggunakan sistem bunga majmuk dengan bungan p% pertahun, maka jumlah uangnya selah $n$ adalah $M_{n}$ adalah

$\LARGE\boxed{M_{n}=M\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{n}}$

b. Peluruhan(decay)

Misalkan suatu zat radioaktif yang meluruh dapat kita nyatakan dengan

$\LARGE\boxed{x\left ( t \right )=x\left ( 0 \right ).e^{-\lambda .t}}$

dengan

$x\left ( t \right )$ = massa yang tersisa setelah t detik
$x\left ( 0 \right )$ = massa awal
$\lambda$ = konstanta peluruhan

2. Fungsi Logaritma
Misalkan suatu senyawa kimiawi dihitung nilai pH

$\LARGE\boxed{pH=-\log \left [ H^{+} \right ]}$

dengan

$pH$ adalah sifat keasaman
$\left [ H^{+} \right ]$ adalah konsentrasi ion hidrogen dalam mol per liter pada suatu larutan

Misalkan juga dalam bidang fisika berkaitan dengan taraf intensitas bunyi (TI). Dimana TI adalah perbandingan antara intensitas bunyi dengan intensitas ambang

$\LARGE\boxed{TI=10\log \frac{I}{I_{0}}}$

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$ 1. Ahmad menyimpan uangnya di bank sebesar Rp200.000,00 dengan tingkat suku bunga majmuk 10% pertahun. Tentukan lamanya waktu supaya uang simpanan Ahmad di bank menjadi Rp600.000,00
Jawab:
Diketahui $\left\{\begin{matrix} M_{n} &= & Rp 600.000,00 \\ M &= & Rp200.000,00 \\ p & = &10 \end{matrix}\right.$ .
$M_{n}=M.\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{n}$ ,
$600.000=200.000.\left ( 1+0,10 \right )^{n}$ ,
$\left ( 1,1 \right )^{n}=\frac{600000}{200000}=3$ ,
$n\log \left ( 1,1 \right )=\log 3$ ,
$n=\frac{\log 3}{\log \left ( 1,1 \right )}$ ,
$t=\frac{0,4771}{0,0414}$ , (gunakan kalkulator)
$t=11,53$ .
Jadi, waktu yang dibutuhkan adalah 11, 53 tahun
2. Massa suatu zat radioaktif dirumuskan yang meluruh dapat dinyatakan dengan rumus
$x\left ( t \right )=x\left ( 0 \right ).e^{-\lambda .t}$
a. Jika $x(t)=7,1,\: x(0)=10,5,\: dan\: \lambda =1,3\times 10^{-3}$ , maka tentukan $t$ dalam tahun
b. Jika $t_{\frac{1}{2}}$ adalah waktu yang dibutuhkan sehinggga massa yang tertinggal sama dengan setengah dari jumlah massa awal, tunjukkan bahwa $t_{\frac{1}{2}}=\frac{0,693}{\lambda }$
Jawab:
diketahui $x\left ( t \right )=x\left ( 0 \right ).e^{-\lambda .t}$ .
$\log x(t)=\log x(0).e^{-\lambda .t}$ ,
$\log x(t)=\log x(0)-\lambda .t\log e$ ,
$\lambda .t\log e=\log x(0)-\log x(t)$ ,
$t=\frac{\log x(0)-\log x(t)}{\lambda \log e}$ ,
$t=\frac{\log 10,5-\log 7,1}{1,3\times 10^{-3}.\log 2,71828}=300,8 \: \: tahun$
b. diketahui bahwa $\left\{\begin{matrix} t & = & t_{\frac{1}{2}} \\ x(t) & = & \frac{1}{2}x(0) \end{matrix}\right.$
sehingga
$\frac{1}{2}x(0)=x(0).e^{-\lambda .t_{\frac{1}{2}}}$ ,
$e^{-\lambda .t_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$ ,
$e^{\lambda .t_{\frac{1}{2}}}=2$ ,
$\lambda. t_{\frac{1}{2}}\log e=\log 2$ ,
$t_{\frac{1}{2}}=\frac{\log 2}{\lambda . \log e}$ ,
$t_{\frac{1}{2}}=\frac{0,3010}{\lambda .(0,434)}$ ,
$t_{\frac{1}{2}}=\frac{0,693}{\lambda }$ .
terbukti
3. Jika diketahui konsentrasi ion hidrogen dari jus jeruk adalah $6,32\times 10^{-4}$ , maka tentukan $pH$ dari jus jeruk tersebut!
Jawab:
$pH=-\log \left [ H^{+} \right ]$ ,
$pH=-\log \left ( 6,32\times 10^{-4} \right )$ ,
$pH=-\left ( \log 6,32+\log 10^{-4} \right )$ ,
$pH=-\log 6,32+4$ ,
$pH=-0,8007+4=3,1993$ .
Jadi, $pH\approx 3,2$ .

4. Misalkan sebuah komputer saat kondisi baru bernilai $N_{0}$ rupiah.. Andaikan komputer tersebut setelah $t$ tahun mengalami penyusutan sebesar $N_{0}\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}$ . Harga komputer tersebut akan bernilai sebesar $\frac{N_{0}}{9}$ setelah …. tahun.
Jawab:
diketahui harga awalnya $N_{0}$ rupiah. Dan setelah $t$ tahun , maka harganya akan menjadi $N_{t}$ . Jika $N_{t}=\frac{N_{0}}{9}$ , maka
$N_{0}-N_{0}\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\frac{N_{0}}{9}$ ,
$1-\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\frac{1}{9}$ ,
$\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\frac{8}{9}$ , masing-masing ruas di-logkan, sehingga
$\log \left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\log\frac{8}{9}$ ,
$t=\frac{\log \frac{8}{9}}{\log \frac{2}{3}}=\frac{\log 8-\log 9}{\log 2-\log 3}=\frac{3\log 2-2\log 3}{\log 2-\log 3}$ .

$\LARGE\fbox{Latihan Soal}$

Populasi hewan langka berkurang 20% setiap tahunnya. Jika sekarang populasinya tinggal 10.000 ekor, dalam berapa tahun tersebut tinggal 1000 ekor saja (gunakan rumus $y=y_{0}.e^{kt}$ , serta anggap bahwa pelestarian hewan tersebut tidak membuahkan hasil)
Dalam sebuah laboratorium sedang diteliti tentang pertumbuhan bakteri. Jika mula-mula terdapat 25 bakteri dan setelah 2 jam jumlah bakteri menjadi 100, maka berapakah jumlah bakteri setelah 4 jam (asumsikan bakteri terus bertambah dan dirumuskan dengan $k(x)=k.a^{x}$
perhatikan gambar di atas yang menunjukkan grafik fungsi tekanan udara terhadap perubahan ketinggian

a) Tunjukkan bahwa P sebagai fungsi h yang paling mendekati adalah $P(h)=C.2^{ah},\: \: \: dengan\: \: C>0\: \: dan\: \: a<0$
b) Jika $P(h)=A.f(h)$ , tunjukkan bahwa $P(10)=1013.\frac{f(10)}{f(0)}$ .

Sumber Referensi

Luji, Willa Adrian Sukoco. 2006. Matematika Bilingual untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1 & 2. Bandung: Yrama Widya.
Sukino. 2013. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Erlangga.
Tampomas, Husein. 1999. Seribu Pena MatematikaSMU Kelas 2. Jakarta: Erlangga.
Tung, Khoe Yao. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas XII IPA Untuk Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: ANDI.
Wirodikromo, Sartono. 1996. Matematika untuk SMU Jilid 6 Kelas 2. Jakarta: Erlangga.
_________, Algebra: Teoria con 8000 Problemas Propuestos y Resueltos.

Punya Radit

Rabu, 31 Oktober 2018

Logaritma Lewat Ajaaaa~~~~

Fungsi Eksponen dan Logaritma

0 komentar:

Posting Komentar

Untuk Kamu

Jadwal Sholat

Self Healing

Labels

Blog Archive

Berita

Kategori Materi